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等差数列求项数(等差数列求和题100例)

等差数列求项数(等差数列求和题100例)

更新时间:2022-04-23 13:24:26

等差数列是我们小学必须要掌握的基础知识,在小升初考试多以填空题、计算题的形式出现,并且在初、高中的学习过程中也会经常遇见它,现在就让我们一起来学习一下吧!

知识点:

1.把若干个数排成一列叫数列,其中每一个数都称为一项,排在第一个位置的叫首项,排在最后一个位置的叫末项,从第二项起,后项与前项的差都相等的数列叫等差数列,相邻两项的差叫做等差数列的公差,数列中数的个数叫公差。

2.通项公式:末项=首项 (项数-1)x公差

项数公式:项数=(末项-首项)÷公差 1

求和公式:总和=(首项 末项)x项数÷2

例题:

若干人围成8圈,一圈套一圈,从外向内各圈人数依次少4人,如果共有304人,最外圈有几人?

分析:根据题目可看成这是一个公差为4,项数为8,总和为304的等差数列,求末项值,根据公式末项=首项 (项数-1)x公差,可计算出末项(最外圈人数),再根据公式总和=(首项 末项)x项数÷2 即可计算出结果,为方便计算,设首项为a1。

解:设首项为a1

最外圈人数:a1 (8-1)x4=a1 28

304=(a1 a1 28)x8÷2

2a1 28=76

a1=24

24 28=52(人)

答:最外圈有52人。

等差数列总结


一通项公式

通项公式:an=a1 (n-1)·d

推论:an=am (n-m)·d ,其中am表示为第m项

备注:

等差数列的通项,整理后为类似一次函数“an=kn b”形式,其中等差数列的公差d为k。另外凡是一个数列的通项可以写成类似一次函数 “an=kn b”的形式,那么这个数列一定是等差数列。

二求和公式
Sn=na1 n(n-1)/2,这个公式通常在解答题运用比较多

Sn=n(a1 an)/2,这个公式通常在选择、填空运用比较多

备注:

1.等差数列的前n项和公式,整理后为类似二次函数“Sn=An2 Bn (常数项为0)”形式,其中等差数列的公差d为2A。另外凡是一个数列的通项可以写成类似二次函数Sn=An2 Bn(常数项为0)形式,那么这个数列一定是等差数列。

2. 针对等差数列,无论题目中给出何种条件的等式,最终均可以根据公式化成只有a1跟d两个未知量,从而进行求解。

三等差中项

如果2m=p q,则2am=ap aq

备注:

题目中如果给出三项的和,通常都可求出中间项为多少。例如已知等差数列a1 a2 a3=9,即可知a2=3,因为a2是a1跟a3的中间项;再如已知等差数列a1 a5 a9=12,即可知a5=4,因为a5是a1跟a9的中间项

例题:

数列{an}是等差数列,已知a5=3,求S9=?

解析:

S9=a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9,可以发现a5是a1和a9,a2和a8,a3和a7,a4跟a6的中间项,即2a5=a1 a9,剩下的同理,所以S9=9a5=27

变式:

数列{an}是等差数列,前3项的和为6,后3项的和为18,Sn=128,求n

备注:

当n为奇数,

其中

为Sn的中间项。

例如:n=11 ,S11=11a6,a6S11的中间项。

当n为偶数,

,其中

为Sn的中间两项。

例如:n=12,S12=6(a6 a7), a6a7S12的中间两项。

四等差性质

1.如果{an}是等差数列,Sn是数列{an}前n项和,那么Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,……也是成等差数列

例题:

已知{an}是等差数列,Sn是{an}的前n项和,S6/S3=3,求S12/S3=?

解析:

根据上面性质可知,S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9也是成等差数列,令S3=m,则S6=3m,则这个新的等差数列的首项是m(S3),第二项是2m(S6-S3),所以公差d=2m-m=m,即可算出第三项S9-S6=3m,又S6=3m,所以S9=6m,同理可算出S12=10m,则S12/S3=10

2.{an}和{bn}是等差数列,Sn跟Tn分别是{an}和{bn}的前n项和,那么

例题:

已知{an}和{bn}是等差数列,Sn跟Tn分别是{an}和{bn}的前n项和,已知

求a5/b5=?

解析:

3.如果{an}是等差数列,公差为d,每隔k项之后(am,am k,am 2k,am 3k ……) 也是等差数列,公差为k·d

4.如果{an}是等差数列,公差为d,数列总共有2n(偶数)项,奇数项有n个,偶数项有n个,那么

其中an跟an 1是这个数列(总共有2n项)的中间两项,因为数列的总项数是偶数的,所以才有中间两项,另S偶-S奇=nd;如果数列总共2n 1(奇数)项,奇数项有n 1个,偶数项有n个,那么

其中an 1是这个数列(总共有2n 1项)的中间项,因为数列的总项数是奇数的,所以中间只有一项。另S奇-S偶=an 1。

例题:

已知{an}是等差数列,当n=25时,奇数项的和与偶数项的和之比是多少

解析:

根据上式可知,如果数列为奇数项,所以

,已知2n 1=25,则n=12,则

变式:已知等差数列{an}总共有10项,其奇数项之和为10,偶数项之和为30,则其公差是多少?

五最值问题

在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值

例题:

已知{an}是等差数列,an=2n-49,当数列{an}的前n项和Sn取得最小值时,n=?

解析:

根据an的通项公式可以看出,a1=-47,d=2,这是一个递增的数列,令an=0,即算出n=24.5,又n是正整数,所以当n=24时,a24<0,当n=25时,a25>0,则可以得出,前24项均为负的,从第25项开始为正,所以n=24时,Sn最小。

备注:

在求前n项和的最值时,首先要令an=0,求出为0的项数。

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