其实就是用变限积分求导公式，由于0到根号y上积分arctan[cos(3x+5根号)]dx实际上是y的函数，不妨令成f(y)，根据变限积分求导公式，0到t²上积分f(y)dy的导数是2tf(t²)，于是第一行二重积分对t求导得到的式子含因式2t；
由于f(y)是0到根号y上积分arctan[cos(3x+5根号)]dx，f(t²)实际上就是把所有的y换成t²，得到第二行，由极限号，t＞0，开方得第三行；
二重积分是二元函数在空间上的积分，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。
同定积分类似。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。
设二元函数z=f（x，y）定义在有界闭区域D上，将区域D任意分成n个子域
，并以
表示第
个子域的面积。在
上任取一点
作和
。如果当各个子域的直径中的最大值
趋于零时，此和式的极限存在，且该极限值与区域D的分法及
的取法无关，则称此极限为函数
在区域
上的二重积分，记为
，即
。
这时，称
在
上可积，其中
称被积函数，
称为被积表达式，
称为面积元素，
称为积分区域，
称为二重积分号。
同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。
