1中点坐标公式
有两点 A(x1，y1) B(x2，y2) ，则它们的中点P的坐标为（(x1+x2)/2，(y1+y2)/2）。任意一点（x，y）关于（a, b）的对称点为 （2a-x，2b-y）；则（2a-x，2b-y）也在此函数上。有 f(2a-x)= 2b-y 移项，有y=2b- f(2a-x)。
2推导过程
证明：在平面直角坐标系xoy中,
假设点A(x1,y1),点B(x2,y2),
线段AB的中点为点M(x,y)；
因为|AM|=|MB|,而且向量AM和向量MB是同向的,
所以向量AM=向量MB,即(x-x1,y-y1)=(x2-x,y2-y),
所以x-x1=x2-x①,y-y1=y2-y②；
由①可得2x=x1+x2,所以x=(x1+x2)/2；
由②可得2y=y1+y2,所以y=(y1+y2)/2；
综上所述,点M的坐标为（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）
中点向量公式的推导过程如下：
设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），点M为线段AB的中点，坐标为（x，y）。
根据中点的定义，可以得到中点M的坐标满足以下两个条件：
1. 线段AM的长度等于线段MB的长度，即AM = MB。
2. 线段AM与线段MB在坐标系中的投影长度分别等于线段AB在坐标系中的投影长度，即x - x1 = x2 - x，y - y1 = y2 - y。
根据第一个条件，可以得到：
AM的长度等于MB的长度，即√((x - x1)^2 + (y - y1)^2) = √((x2 - x)^2 + (y2 - y)^2)。
两边平方，得到：
(x - x1)^2 + (y - y1)^2 = (x2 - x)^2 + (y2 - y)^2。
将上式展开并化简，得到：
x^2 - 2x1x + x1^2 + y^2 - 2y1y + y1^2 = x2^2 - 2x2x + x^2 + y2^2 - 2y2y + y^2。
移项整理，得到：
2x(x2 - x1) + 2y(y2 - y1) = x2^2 - 2x2x1 + x1^2 + y2^2 - 2y2y1 + y1^2 - x^2 - y^2 + x^2 + y^2。
化简得到：
2x(x2 - x1) + 2y(y2 - y1) = x2^2 + y2^2 + x1^2 + y1^2 - 2x2x1 - 2y2y1。
整理得到：
2x(x2 - x1) + 2y(y2 - y1) = (x2^2 + y2^2) - (x1^2 + y1^2) - 2x2x1 - 2y2y1。
继续化简得到：
2x(x2 - x1) + 2y(y2 - y1) = (x2^2 - 2x2x1 + x1^2) + (y2^2 - 2y2y1 + y1^2)。
可以发现，右侧由两个平方项构成，它们正好分别等于(x2 - x1)^2和(y2 -y1)^2。
因此，上式可以进一步化简为：
2x(x2 - x1) + 2y(y2 - y1) = (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2。
将该式进一步化简，得到：
x(x2 - x1) + y(y2 - y1) = (x2 - x1)^2/2 + (y2 - y1)^2/2。
左侧恰好等于x1(x2 - x1) + y1(y2 - y1)，右侧可进一步化简为：
(x2 - x1)^2/2 + (y2 - y1)^2/2 = (x2^2 - 2x2x1 + x1^2)/2 + (y2^2 - 2y2y1 + y1^2)/2
= (x2^2 + y2^2 + x1^2 + y1^2)/2 - (2x2x1 + 2y2y1)/2
= (x2^2 + y2^2 + x1^2 + y1^2 - 2x2x1 - 2y2y1)/2。
因此，可以得到最终的中点向量公式：
x1(x2 - x1) + y1(y2 - y1) = (x2^2 + y2^2 + x1^2 + y1^2 - 2x2x1 - 2y2y1)/2。
