简谐运动的表达式可以通过牛顿第二定律推导得出。以下是推导过程：
假设有一个质点P，质量为m，位于弹簧的一端。弹簧的另一端固定在一个固定点O。弹簧的劲度系数为k。没有外力作用在质点上。质点P在x轴上做简谐运动。
弹簧的形变（伸长或压缩）可以用一个无量纲量x表示，其中x = 0表示弹簧处于未形变的平衡位置。
牛顿第二定律可以表示为：
F = ma
其中，F是质点P所受的合力，a是质点的加速度。
对于质点P，有重力mg和弹簧的弹力Fs作用在质点上。其中，重力mg始终垂直于x轴，而弹力Fs与形变量x成正比，可以表示为：
Fs = -kx
其中，-k表示弹簧弹力的方向与形变量x的方向相反。
由于质点P在x轴上运动，所以质点P的加速度a可以分解为x轴方向的分量ax和y轴方向的分量ay。由于y轴方向上没有力作用在质点上，所以ay = 0。于是，质点P的加速度a可以表示为：
a = ax
将Fs和ma分别代入牛顿第二定律，有：
-kx = ma
为了求解方程，需要确定质点P的质量m。通常，实际问题中，弹簧的劲度系数k和形变量x都是非常小的量，而质量m是一个常量。因此，我们可以在方程左右两侧同时除以m，得到：
-kx/m = a
由于k、m和x都是无量纲量，我们可以进一步将方程简化为：
-ω^2x = a
其中，ω^2 = k/m。ω称为角频率，是一个常数。
我们再次回顾牛顿第二定律：F = ma。对于质点P，有重力mg和弹簧的弹力Fs作用在质点上。由于质点P在x轴上运动，所以质点P的受力分析可以沿x轴方向进行。
将重力mg和弹力Fs代入牛顿第二定律，有：
mg + Fs = ma
由于Fs = -kx，我们可以进一步将方程简化为：
mg - kx = m a
由于m是一个常量，我们可以在方程左右两侧同时除以m，得到：
g - ω^2x = a
为了方便求解，我们将方程写成如下形式：
a = g - ω^2x
上述推导过程展示了简谐运动表达式的推导过程。通过这些推导，我们可以得到简谐运动的表达式：
a = g - ω^2x
其中，a是质点的加速度，g是重力加速度，ω是角频率，x是形变量。
