柯西不等式是数学中的一种重要不等式，它在数学分析、几何学、概率论、统计学等许多分支中都有广泛应用。柯西不等式的一般形式是：
$$left(sum{i=1}^n aibi ight)^2 leq sum{i=1}^n ai^2 sum{i=1}^n b_i^2$$
其中， $a1,a2,cdots,an$ 和 $b1,b2,cdots,bn$ 是任意实数。等号成立的条件是两个向量 $mathbf{a}=(a1,a2,cdots,an)$ 和 $mathbf{b}=(b1,b2,cdots,bn)$ 具有线性相关性，即存在常数 $k$ 使得 $mathbf{a} = kmathbf{b}$。
证明如下：
若两个向量 $mathbf{a}=(a1,a2,cdots,an)$ 和 $mathbf{b}=(b1,b2,cdots,bn)$ 具有线性相关性，则存在常数 $k$ 使得 $mathbf{a} = kmathbf{b}$。不妨设 $k eq 0$，则有
$$frac{a1}{b1} = frac{a2}{b2} = cdots = frac{an}{bn} = k$$
两边同乘 $bi$，可得 $ai = kb_i$。代入柯西不等式的左边得
$$
left(sum{i=1}^n aibi ight)^2=left(sum{i=1}^n kbi^2 ight)^2=k^2left(sum{i=1}^n b_i^2 ight)^2
$$
代入柯西不等式的右边也可得
$$sum{i=1}^n ai^2 sum{i=1}^n bi^2 = left(sum{i=1}^n k^2bi^2 ight) left(sum{i=1}^n bi^2 ight) = k^2left(sum{i=1}^n bi^2 ight)^2$$
因此，柯西不等式左右两边相等，等号成立。
