在椭圆中,离心率e=c/a. 因为a>c,而两者都大于0. 所以离心率的范围应该是(0,1),而不是[0,1]. 椭圆离心率的取值范围是e∈(0,1),离心率越大椭圆越“扁”,离心率越小则椭圆越“圆”。
一、公式模型
模型1、椭圆的两个焦点分别为F1和F2，P为椭圆上一点，若有∠F1PF2=α,则离心率的取值范围是[sin(α/2),1)。
证明：当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2逐渐增大。当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值。
由此可得：∵P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=α
∴在△F1P0F2中，∠F1P0F2≥α
模型2、椭圆的长轴两端点分别是A和B，P为椭圆上一点，若满足∠APB=α,则离心率的取值范围
证明：当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个椭圆两个端点的张角∠APM逐渐增大。当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠APM达到最大值。
由此可得：∵P为椭圆上一点，使得∠APM=α
∴在△APM中，∠AP0M≥α
二、例题解析：
