切线放缩大题是一类常见的不等式证明题目，它的一般形式是：已知已知 $f(x)$ 为 $[a,b]$ 上的可导函数，且 $f(a)=f(b)$，则对于任意 $a leq x leq b$，有 $|frac{f(x)}{x-a} - f'(a)| leq M$，其中 $M$ 是一个常数。
要证明这个不等式，一般需要使用到拉格朗日中值定理。具体的证明步骤如下：
1. 固定 $x$，使用拉格朗日中值定理，可以得到 $frac{f(x)}{x-a} = f'(t_1)$，其中 $t_1 in [a,x]$。
2. 再使用拉格朗日中值定理，可以得到 $f'(t_1) - f'(a) = f''(t_2)(t_1-a)$，其中 $t_2 in [a,t_1]$。
3. 将上述两个式子代入原不等式，得到 $|frac{f(x)}{x-a} - f'(a)| = |f''(t_2)(t_1-a)|$。
4. 由于 $t_1 in [a,x], t_2 in [a,t_1]$，因此可以得到 $a leq t_2 leq t_1 leq x$，进而可以得到 $|t_1-a| leq |x-a|$ 和 $|t_2-a| leq |t_1-a| leq |x-a|$。
5. 将步骤4中的不等式代入步骤3的式子，得到 $|frac{f(x)}{x-a}-f'(a)|=|f''(t_2)(t_1-a)| leq M |x-a|$，其中 $M$ 是一个常数。这个式子就是我们所要证明的不等式。
在使用切线放缩大题时，需要注意以下几点：
1. 理解“切线放缩”这个思想，即通过切线近似函数，进而得到不等式；
2. 熟练掌握拉格朗日中值定理的使用方法；
3. 能够看出式子中的主要特征，如 $f(x), f'(a), M$ 等，将它们与切线放缩的思想联系起来。
