柯西不等式是一种常用的数学工具，主要用于证明不等式。以下是两个例子及其解法：
给定$a, bin mathbb{R}$，求证$ableq (a^2+b^2)/2$。
解法：由柯西不等式得：$(a + b)^2 leq 2(a^2 + b^2)$，即$2leq 2(a^2 + b^2)$，故$a^2 + b^2 geq 1$。再由$(a - b)^2 geq 0$，得到$a^2 + b^2 geq 2ab$，即$ableq a^2 + b^2/2$. 当且仅当$a=b$时，等号成立。
给定$x, y, z>0$，求证$frac{x}{y+2z}+frac{y}{z+2x}+frac{z}{x+2y}geq 1$。
解法：首先利用柯西不等式有$(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx geq (xy + yz + zx)^2$，从而得出$x^2 + y^2 + z^2 geq xy + yz + zx$。然后通过对称性可知$xy + yz + zx leq 1/(3)$. 最后使用柯西不等式又有$left[frac{x}{y+2z} + frac{y}{z+2x}+ frac{z}{x+2y} ight] imes [x(y+2z)+y(z+2x)+z(x+2y)]=(x+y+z)^2=1$，所以$frac{x}{y+2z}+frac{y}{z+2x}+frac{z}{x+2y}geq 1/left[x(y+2z) + y(z+2x) + z(x+2y) ight]=1$。
