要在长方形里画一个最大的半圆，首先画长方形长边的中线，再用中线与其中一条边的交点作圆心，以长方形的宽为半径，这样画出来的半圆就是长方形内最大的半圆了。
分三种情况讨论:
1、长方形的长=宽的2倍，分别以两长的中点为圆心，宽的长为半径，在长方形内部画半圆。
2、长方形的长＞宽长的二倍，在长方形的一长AB上截取AO=宽，BO′=宽，以线段OO′上的任意一点为圆心，宽的长为半径作半圆。
3、宽AD≤长AB＜2AD，先以边长为2的正方形为特例说明这个问题。
在正方形ABCD中，AB=2，连接AC、BD交于点O。在AO上取一点P，过P作BD的平行线，分别交AB于E，交AD于F，则0＜OE<√2(OD的长)。以EF为直径(P是圆心）作半圆与BC相切于M，与DC相切于N。则PM丄BC，1<PM<2，则一定存P，使PE=PM。设PE=PM=r，则√2(2-r）=r，∴r=4－2√2＞1
所以所作的半圆比以长的中点为圆心，长的一半为半径的半圆大。
∴所作的半圆为所求。
