对于函数的连续性与导数存在性的论证，我们可以通过以下两种方式进行举例：
1. 连续性论证：
举例函数$f(x) = frac{1}{x}$，在定义域为$(0,+infty)$时，$f(x)$是连续的。我们可以通过极限的定义证明$f(x)$的连续性。当$x$无限逼近于$a$时，$f(x)$的极限是$frac{1}{a}$，因此在$a$处连续。
2. 导数存在性论证：
举例函数$f(x)=|x|$，在定义域为$(-infty, +infty)$时，$f(x)$的导数存在。我们可以使用导数定义的极限证明。在$x=0$的左侧，$f(x)=x$，在$x=0$的右侧，$f(x)=-x$。我们可以计算出左导数和右导数分别都是1，因此导数存在。
需要注意的是，这只是对连续性与导数存在性的一种举例证明，并不是适用于所有函数的论证方法。具体的论证方法需要根据具体的函数形式和定义域来确定。
【分析】
根据函数连续性的定义以及导数的定义进行举例即可．
【解答】
对于函数$f(x) = frac{1}{x}$，当$x = 0$时，函数不连续，$lim_{x longrightarrow 0^{+}}f(x) = lim_{x longrightarrow 0^{-}}f(x) = infty$，所以函数不连续；
对于函数$f(x) = x^{2}$，当$x = 0$时，函数的导数不存在，$lim_{x longrightarrow 0^{+}}frac{f(x) - f(0)}{x} = lim_{x longrightarrow 0^{+}}x = 0$，$lim_{x longrightarrow 0^{-}}frac{f(x) - f(0)}{x} = lim_{x longrightarrow 0^{-}} - x = 0$，所以函数的导数不存在．
