圆锥曲线第三定义：平面内一个动点到一个定点和一条定直线的距离之比等于一个常数，这个定点称为焦点，定直线称为准线，这个常数称为离心率。当离心率等于1时，该动点的轨迹是抛物线；当离心率大于1时，该动点的轨迹是双曲线；当离心率等于0时，该动点的轨迹是椭圆。
推论：如果一个动点与定点和定直线的距离之比等于离心率，则该动点的轨迹为圆锥曲线。
推导：在平面直角坐标系中，点A(−x0,0)，B(x0,0)是定点，其中 x0>0 ，有一动点P，设直线PA和直线PB的斜率分别是 k1 和k2，若k1⋅k2是不为0的定值，则点P的轨迹是圆、椭圆或双曲线（去掉A、B两点，以下不再特意说明）。
设k1⋅k2=m，则：
（1）若m>0，则点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线，且 m=b2a2=e2−1 （其中e是离心率，下同），点A、B是左、右端点；
（2）若−1<m<0，则点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且 m=−b2a2=e2−1，点A、B是左、右端点；
（3）若m=−1，则点P的轨迹是圆，且线段AB为一条直径；
（4）若m<−1，则点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆，且 m=−a2b2=1e2−1，点A、B是左、右端点。
我们一般狭义地认为圆锥曲线只有椭圆、抛物线和双曲线三种，要注意到我们此系列之前的提到的四种定义中，椭圆和双曲线在四种定义中都有，而抛物线只有在立体几何定义与第二定义中有。
