抛物线是二次函数，其一般式为 $y=ax^2+bx+c$，其中 $a eq 0$。以下介绍几种抛物线的解析几何综合题。
（1）求抛物线的顶点和对称轴
抛物线的顶点坐标为 $(-dfrac{b}{2a}, dfrac{4ac-b^2}{4a})$，对称轴为 $x=-dfrac{b}{2a}$。该公式可以通过配方法或求导方法求得。
（2）过抛物线上一点作其切线
过抛物线上某一点 $(x_0, y_0)$ 作抛物线的切线，直线方程为 $y=y_0+2ax_0(x-x_0)$。证明：对抛物线求导得到导函数 $y'=2ax+b$，在点 $(x_0, y_0)$ 的导数为 $y'=2ax_0+b$，由于切线方程斜率等于导数，故得到切线方程。
（3）已知抛物线顶点和过一点，求切线方程
先通过顶点公式求出抛物线方程，再求出导数，代入过点坐标求得兔式，最后化简即可。
（4）已知焦点和准线，求抛物线方程
设抛物线方程为 $y=ax^2$，焦点为 $(0, f)$，准线为 $x=p$，由抛物线的定义可得：焦点到任意一点的距离等于该点到准线的距离，即：
$sqrt{x^2+y^2-f^2}=|x-p|$
化简得：$y=ax^2+dfrac{f^2}{p}-dfrac{2f}{p}x$，故抛物线方程为 $y=ax^2+dfrac{f^2}{p}-dfrac{2f}{p}x$。
这里提供一个解析几何抛物线综合题的例子：
已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 的焦点为 $F(2,3)$，过点 $F$ 过该抛物线作直线 $l$，$l$ 与抛物线相交于点 $A$ 和 $B$，且 $AB=6$，求该抛物线的解析式。
解题思路：
1.根据抛物线焦点的定义，以 $F$ 为定点，$AB$ 中点 $M$ 的轨迹一定是抛物线。因此，设 $M(x, y)$，则 $MF=sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}$，又因为 $F$ 是焦点，因此 $MF=frac{1}{4a}$，因此可以得到方程：
$$sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}=frac{1}{4a}$$
2.由于直线 $l$ 与抛物线相交于点 $A$ 和 $B$，因此可以得到以下两个方程：
$$y=ax^2+bx+c$$
$$y-3=frac{y-6}{x-2}(x-2)$$
将第一个方程中的 $y$ 用第二个方程中的 $x$ 和 $y$ 表示出来，得到二次方程：
$$(a+1)x^2+(b-4a+3)x+(c-3b+9)=0$$
3.根据 $AB=6$，可以得到：
$$sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}=6$$
将 $x_A, y_A, x_B, y_B$ 用 $a, b, c$ 表示出来，并利用等式 $sqrt{a^2+b^2}=|a|$，得到以下方程：
$$3ac-b^2+9a=8a$$
$$c+3b+9=12a$$
$$a=1$$
将 $a=1$ 代入方程组中解出 $b=-2$，$c=1$，因此该抛物线的解析式是 $y=x^2-2x+1$。
因此，提供以上思路，我们可以应对类似的解析几何抛物线综合题。
