对于给定的函数 f，如果存在一个实数 I，使得对于任意的正数 epsilon >0，都存在一个分割区间 P，使得在子区间 [x_i,x_{i+1}] 上，函数 f 的差值 f(x_{i+1}) - f(x_i) 的绝对值不大于 epsilon，且在这个分割区间上，所有子区间的长度之和等于 I，则称函数 f(x) 在区间 I 上可积，此时，函数 f(x) 在区间 I 上的定积分∫_{a}^{b} f(x) dx就定义为子区间长度之和的极限，即：
int_{a}^{b} f(x)dx = lim_{ riangle x o 0}sum_{i=1}^{n} f(x_i) riangle x
其中，[a,b] 是函数 f 的积分区间，x_i 是分割区间的端点，n 是子区间的数量， riangle x 是子区间的长度。
定积分的定义是：设函数f (x) 在区间 [a,b]上连续，将区间 [a,b]分成n个子区间 [x 0 ,x 1 ], (x 1 ,x 2 ], (x 2 ,x 3 ], …， (x n-1 ,x n ]，其中x 0 =a，x n =b。.
可知各区间的长度依次是： x 1 =x 1 -x 0， 在每个子区间 (x i-1 ,x ]中任取一点ξ （1,2,...,n），作和式 。.
该和式叫做积分和。然后将这些积分和加起来取极限。
