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二阶微分方程一个根的通解公式(二阶微分方程的通解三种方法)

二阶微分方程一个根的通解公式(二阶微分方程的通解三种方法)

更新时间:2025-09-30 22:38:32

二阶微分方程一个根的通解公式

假如微分方程形式为y''-2*a*y'+a^2*y=0,那么它的特征方程为:

r^2-2*a*r+a^2=0,从而可以解得它的重根为r=a。

按照一般思维,很明显y=e^(ax)将是它的一个根;但对于二阶微分方程而言,因为要积分两次,所以应该有两个常数,解的一般形式应该为y=c1*y1+c2*y2;

现在我们假设一般解形式为y=e^(ax)*u(x) (其中u(x)是一个我们需要解的函数)

首先计算下:

y'=a*e^(ax)*u(x)+e^(ax)*u'(x)

继续有:

y''=a*{a*e^(ax)*u(x)+e^(ax)*u'(x)}+ a*e^(ax)*u'(x)+e^(ax)*u''(x)

将这个解代入原微分方程有:

a*{a*e^(ax)*u(x)+e^(ax)*u'(x)}+ a*e^(ax)*u'(x)+e^(ax)*u''(x)

-2*a*{a*e^(ax)*u(x)+e^(ax)*u'(x)}

+a^2*e^(ax)*u(x)=0

GO

消元有:

e^(ax)*u''(x)=0

因为e^(ax)不可能为0,所以u''(x)=0,这样u(x)=c1+c2*x

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