这里我大概介绍一下向量重心、垂心、内心、外心的定义以及它们与三角形的关系，然后给出向量推导公式的步骤。
向量重心定义：三角形三个顶点所对应向量的平均值所在的点，称为向量重心。
向量垂心定义：三角形三个顶点所对应向量两两垂直的交点，称为向量垂心。
向量内心定义：过三角形三个顶点所对应向量的角平分线交点的点，称为向量内心。
向量外心定义：过三角形三个顶点所对应向量垂线的交点的点，称为向量外心。
向量重心、垂心、内心和外心与三角形的关系：向量重心、垂心、内心和外心均是以三角形三个顶点所对应的向量作为初始向量进行计算得到的，因此它们与三角形的位置和形状有关。
向量推导的步骤如下：
1. 假设有向量 $a,b,c$ 分别对应三角形的三条边 $AB,BC,CA$。
2. 计算向量重心的位置 $G$，即 $G=(a+b+c)/3$。
3. 计算向量垂心的位置 $H$，分别计算每个向量的垂足点 $H_a,H_b,H_c$，然后计算交点 $H$，可用公式 $H=(a imes b) cdot c + a cdot (b imes c) + b cdot (c imes a)$ 得到。
4. 计算向量内心的位置 $I$，首先计算三个角的平分线向量 $l_a,l_b,l_c$。其中 $l_a$ 的计算方法为 $l_a=frac{|b|cos angle B +|c|cos angle C}{|b|cos angle B+|c|cos angle C +|a|cos angle A}a$。然后取三个角平分线向量的加权平均值即可得到向量内心的位置 $I$。
5. 计算向量外心的位置 $O$，分别计算每个向量的垂线向量 $p_a,p_b,p_c$，然后计算交点 $O$，可用公式 $O=(p_a imes p_b) cdot p_c + p_a cdot (p_b imes p_c) + p_b cdot (p_c imes p_a)$ 得到。
6. 最终，向量重心、垂心、内心、外心所对应的点就是三角形重心、垂心、内心、外心的位置。
需要注意的是，以上公式中的 $ imes$ 表示向量的叉乘，$cdot$ 表示向量的点乘。此外，以上推导过程仅适用于一般的三角形。对于等腰三角形或直角三角形等特殊情况，需要进行一
向量是具有大小和方向的量，因此可以用向量来表达重心、垂心、内心和外心。下面给出这四个点的向量表达式及推导过程：
1. 重心
假设三角形ABC的顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)和C(x3, y3)，则重心G的向量表示为：
$vec{OG} = frac{1}{3}left(vec{OA} + vec{OB} + vec{OC} ight)$
其中O为三角形ABC的任意一个点，且$vec{OA} = (x1-x, y1-y)$，$vec{OB} = (x2-x, y2-y)$，$vec{OC} = (x3-x, y3-y)$。将其代入上式，并进行简化，得到：
$vec{OG} = frac{1}{3}left((x1+x2+x3-3x, y1+y2+y3-3y) ight)$
2. 垂心
假设三角形ABC的顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)和C(x3, y3)，则垂心H的向量表示为：
$vec{OH}=vec{OA}+vec{OB}+vec{OC}$
其中O为三角形ABC的任意一个点，且$vec{OA} = (x1-x, y1-y)$，$vec{OB} = (x2-x, y2-y)$，$vec{OC} = (x3-x, y3-y)$。将其代入上式，并进行简化，得到：
$vec{OH}=frac{vec{a}cdotvec{b}}{left|vec{a}cdotvec{b} ight|}left(vec{a}+vec{b} ight)$
其中$vec{a}=vec{OB}-vec{OC}$，$vec{b}=vec{OC}-vec{OA}$，$cdot$表示向量的点乘运算。
3. 内心
假设三角形ABC的顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)和C(x3, y3)，则内心I的向量表示为：
$vec{OI}=frac{rvec{OA}+svec{OB}+tvec{OC}}{r+s+t}$
其中O为三角形ABC的任意一个点，r、s、t是分别以A、B、C为中心，以对边为半径的内切圆半径的倒数，$vec{OA} = (x1-x, y1-y)$，$vec{OB} = (x2-x, y2-y)$，$vec{OC} = (x3-x, y3-y)$。将其代入上式，并进行简化，得到：
$vec{OI}=frac{(vec{a}+vec{c})r+(vec{b}+vec{a})s+(vec{c}+vec{b})t}{r+s+t}$
其中$vec{a}=vec{OB}-vec{OC}$，$vec{b}=vec{OC}-vec{OA}$，$vec{c}=vec{OA}-vec{OB}$。
4. 外心
假设三角形ABC的顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)和C(x3, y3)，则外心O的向量表示为：
$vec{OA}+vec{OB}+vec{OC}=vec{0}$
将上式展开并整理，得到：
$(x1-x)x + (y1-y)y + (x2-x)x + (y2-y)y + (x3-x)x + (y3-y)y = 0$
再将x和y分别表示为$lambda$和$mu$的线性组合，得到：
$egin{cases}x=lambda x1 + mu x2 + (1-lambda -mu)x3 \ y=lambda y1 + mu y2 + (1-lambda -mu)y3end{cases}$
将上面的方程组代入原式中，得到：
$(lambda x1 + mu x2 + (1-lambda -mu)x3 - x)x + (lambda y1 + mu y2 + (1-lambda -mu)y3 - y)y = 0$
假设$s=(vec{AB} cdot vec{AC}), t=left|vec{AB} ight|^2, u=left|vec{AC} ight|^2, v=left|vec{BC} ight|^2$，则有：
$lambda = frac{v(u+s-t)}{2(vt+us+ur)}, mu=frac{u(v+s-t)}{2(vt+us+ur)}$
将以上式子代入前面的方程组中即可求得外心坐标。
注意：以上的推导过程均基于向量的定义和相关性质，因此可以使用更通用的向量式子进行求解。
