和差积商的变化规律
一、和的变化规律
(一)如果一个加数增加一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加同一个数．
例如：
3＋5=8 a＋b=c
(3＋2)＋5=8＋2 (a＋m)＋b=c＋m
a＋(b＋m)=c＋m
(二)如果一个加数减少一个数，另一个加数不变，那么，它们的和也减少同一个数．
例如：
8＋6=14
(8－4)＋6=14－4
a＋b＝c
(a－m)＋b=c－m(a≥m)
a＋(b－m)=c－m(b≥m)
(三)如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同样的加数，那么，它们的和不变．
例如：
8＋3=11
(8＋2)＋(3－2)=11
(8－6)＋(3＋6)=11
a＋b=c
(a＋m)＋(b－m)=c(b≥m)
(a－m)＋(b＋m)＝c(a≥m)
(四)如果一个加数增加一个数m，另一个加数增加一个数n，那么，它们的和就增加(m＋n)．
例如：
5＋3=8
(5＋2)＋(3＋7)=8＋(2＋7)
a＋b＝c
(a＋m)＋(b＋n)=c＋(m＋n)
(五)如果一个加数减少一个数m，另一个加数减少一个数n，那么，它们的和就减少(m＋n)．
例如：
30＋18=48
(30－15)＋(18－9)=48－(15＋9)
a＋b＝c
(a－m)＋(b－n)=c－(m＋n)
(六)如果一个加数增加一个数m，另一个加数减少一个数n，当m＞n时，它们的和就增加(m－n)；当m＜n时，它们的和就减少(n－m)．
例如：
8＋5=13
(8＋7)＋(5－3)=13＋(7－3)
(8＋2)＋(5－4)=13－(4－2)
a－b=c
(a＋m)＋(b－n)=c＋(m－n)(m＞n)
＝c－(n－m)(n＞m)
二、差的变化规律
(一)如果被减数增加或减少一个数，减数不变，那么它们的差也增加或减少同一个数．
例如：
9－5=4
(9＋3)－5=4＋3
(9－2)－5=4－2
a－b＝c
(a＋m)－b=c＋m
(a－m)－b＝c－m(c≥m)
(二)如果减数增加或减少一个数，被减数不变，那么，它们的差就减少或增加同一个数．
例如：
9－5=4
9－(5＋3)=4－3
9－(5－3)=4＋3
a－b＝c
a－(b＋m)=c－m(a≥b＋m)
a－(b－m)=c＋m(b≥m)
(三)如果被减数和减数同时增加或减少同一个数，那么，它们的差相等．
例如：
15－8=7
(15＋3)－(8＋3)=7
(15－5)－(8－5)=7
a－b＝c
(a＋m)－(b＋m)=c
(a－m)－(b－m)=c(a≥m b≥m)
(四)如果被减数增加一个数m，减数减少一个数n，那么，它们的差就增加(m＋n)．
例如：
18－12=6
(18＋4)－(12－3)=6＋(4＋3)
a－b＝c
(a＋m)(b－n)＝c＋(m－n)(b≥n)
(五)如果被减数减少一个数m，减数增加一个数n，那么，它们的差就减少(m＋n)
例如：
18－12=6
(18－2)－(12＋1)=6－(2＋1)
a－b＝c
(a－m)－(b＋n)=c－(m＋n)(c≥m＋n)
(六)如果被减数增加一个数m，减数增加一个数n，那么，当m＞n时，它们的差就增加(m＋n)；当m＜n时，它们的差就减少(n－m)．
例如：
20－12=8
(20＋5)－(12＋3)=8＋(5－3)
(20＋5)－(12＋6)=8－(6－5)
a－b＝c
(a＋m)－(b＋n)=c＋(m－n)(m＞n)
(a＋m)－(b＋n)＝c－(n－m)(m＜n)
(七)如果被减数减少一个数m，减数减少一个数n，那么，当m＞n时，它们的差要减少(m－n)；当 m＜n时，它们的差要增加(n－m)．
例如：
40－22=18
(40－3)－(22－2)=18－(3－2)
(40－5)－(22－7)=18＋(7－5)
a－b＝c
(a－m)－(b－n)＝c－(m－n)(m＞n)
(a－m)(b－n)＝c＋(n－m)(n＞m)
三、积的变化规律
(一)如果一个因数扩大m倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大m倍．
例如：
8×5=40
(8×3)×5=40×3
8×(5×4)=40×4
a×b＝c
(a×m)×b＝c×m
a×(b×m)=c×m
(二)如果一个因数缩小m倍，另一个因数不变，那么，它们的积也缩小m倍．
如：25×4=100
(25÷5)×4=100÷5
25×(4÷2)=110÷2
a×b＝c
(a÷m)×b=c÷m
a×(b÷m)=c÷m
(三)如果一个因数扩大m倍，另一个因数缩小相同的倍数，那么它们的积不变．
例如：
45×10=450
(45×2)×(10÷2)=450
(45÷5)×(10×5)=450
a×b=c
(a×m)×(b÷m)＝c (m≠0)
(a÷m)×(b×m)＝c(m≠0)
(四)如果一个因数扩大m倍，另一个因数扩大n倍，那么，它们的积扩大(m×n)倍．
例如：
4×5=20
(4×3)×(5×2)=20×(3×2)
a×b=c
(a×m)×(b×n)＝c×(m×n)(m≠0，n≠0)
(五)如果一个因数缩小m倍，另一个因数缩小n倍，那么，它们的积就缩小(m×n)倍．
例如：
20×8=160
(20÷5)×(8÷4)=160÷(5×4)
a×b=c
(a÷m)×(b÷n)=c÷(m×n)(m≠0，n≠0)
(六)如果一个因数扩大m倍，另一个因数缩小n倍，那么，当m＞n时它们的积扩大(m÷n)倍，当m＜n时，它们的积就缩小(n÷m)倍．
例如：
8×6=48
(8×10)×(6÷2)＝48×(10÷2)
(8×2)×(6÷6)=48÷(6÷2)
a×b=c
(a×m)×(b÷n)＝c×(m÷n)(m＞n)(n≠0)
(a×m)÷(b÷n)=c÷(n÷m)(m＜n)(m≠0)
四、商的变化规律
(一)如果被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，那么，它们的商不变．
例如：
42÷6=7
(42×2)÷(6×2)=7
(42÷3)÷(6÷3)=7
a÷b=c
(a×m)÷(b×m)＝c(m≠0)
(a÷m)÷(b÷m)=c(m≠0)
(二)如果被除数扩大(或缩小)m倍，除数不变，那么，它们的商就扩大(或缩小)m倍．
例如：
16÷2=8
(16×3)÷2＝8×3
(16÷2)÷2=8÷2
a÷b=c
(a×m)÷b＝c×m(m≠0)
(a÷m)÷b＝c÷m (m≠0)
(三)如果除数扩大或缩小m倍，被除数不变，那么，它们的商反而缩小或扩大m倍．
例如：
44÷11=4
44÷(11×2)=4÷2
44÷(11÷11)＝4×11
a÷(b×m)=c÷m(m≠0)
a÷(b÷m)＝c×m (m≠0)
(四)如果被除数扩大m倍，除数缩小n倍，那么，它们的商就扩大(m×n)倍．
例如：
72÷9=8
(72×2)÷(9÷3)＝8×(2×3)
a÷b＝c
(a×m)÷(b÷n)＝c×(m×n)(m，n≠0)
(五)如果被除数缩小m倍，除数扩大n倍，那么，它们的商就缩小(m×n)倍．
例如：
72÷6=12
(72÷3)÷(6×2)=12÷(3×2)
a÷b＝c
(a÷m)÷(b×n)＝c÷(m×n)(m≠0 n≠0)
(六)如果被除数扩大m倍，除数扩大n倍，当m＞n时，它们的商就扩大(m÷n)倍，当m＜n时，它们的商就缩小(n÷m)倍．
例如：
96÷24=4
(96×4)÷(24×2)=4×(4÷2)
(96×2)÷(24×4)=4÷(4÷2)
a÷b＝c
(a×m)÷(b×n)＝c×(m÷n)(m＞n，n≠0)
(a×m)÷(b×n)＝c÷(n÷m)(m＜n，m≠0)
(七)如果被除数缩小m倍，除数缩小n倍，当m＞n时，它们的商就缩小(m÷n)倍，当m＜n时，它们的商就扩大(n÷m)倍．
例如：
64÷16=4
(64÷4)÷(16÷2)=4÷(4÷2)
(64÷2)÷(16÷4)=4×(4÷2)
a÷b＝c
(a÷m)÷(b÷n)=c÷(m÷n)(m＞n n≠0)
(a÷m)÷(b÷n)=c×(n÷m)(m＜n m≠0)
加减法混合运算的性质
(一)交换的性质
在加减混合运算式题中，带着数字前的运算符号，变换加、减数的位置顺序进行计算，结果不变．如
a＋b－c=a－c＋b (a≥c)
＝b－c＋a (b≥c)
(二)结合的性质
在加减混合运算中，可以把加数、减数用括号括起来．当加号后面添括号时，原来的加数，减数都不变；当减号后面添括号时，则原来的减数变加数，加数变减数．如
a－b＋c－d＋m
=(a－b)＋(c－d)＋m (a≥b，c≥d)
＝a－(b－c)－(d－m) (b≥c，d≥m)
=a＋(m－b)＋(c－d) (m≥b，c≥d)
可以归纳为，括号前面是加号，去掉括号不变“号”；加号后面添括号，括号里面不变“号”，括号前面是减号，去掉括号要变“号”，减号后面填括号，括号里面要变“号”．
