伴随矩阵（Adjoint Matrix）是一个与给定矩阵相关的特殊矩阵。对于一个方形矩阵 ( A )，其伴随矩阵记作 ( ext{adj}(A) ) 或 ( A^* )，它具有以下性质：
1. **尺寸**：伴随矩阵的尺寸与原矩阵相同，即如果原矩阵 ( A ) 是 ( n imes n ) 的，那么伴随矩阵 ( ext{adj}(A) ) 也是 ( n imes n ) 的。
2. **元素**：伴随矩阵的每个元素是原矩阵对应位置元素的代数余子式。具体来说，元素 ( (i,j) ) 对应的代数余子式是去掉第 ( i ) 行和第 ( j ) 列后剩余矩阵的行列式。记作 ( M_{ij} = ext{det}(A_{ij}) )，其中 ( A_{ij} ) 是去掉第 ( i ) 行和第 ( j ) 列后的矩阵。
3. **转置**：伴随矩阵是原矩阵的转置的共轭矩阵。这意味着，如果原矩阵 ( A ) 是 ( n imes n ) 的，那么伴随矩阵 ( ext{adj}(A) ) 是对原矩阵转置后的结果取共轭，即 ( ext{adj}(A) = A^T * ext{conj}(A) )，其中 ( A^T ) 是 ( A ) 的转置，( ext{conj}(A) ) 是 ( A ) 的共轭矩阵。
4. **与逆矩阵的关系**：如果矩阵 ( A ) 是可逆的，那么伴随矩阵 ( ext{adj}(A) ) 与 ( A ) 的逆矩阵 ( A^{-1} ) 有关，即 ( ext{adj}(A) = (A^{-1})^T )。
5. **行列式**：伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式的相反数，即 ( ext{det}( ext{adj}(A)) = (-1)^n ext{det}(A) )，其中 ( n ) 是矩阵的阶数。
举个例子，如果有一个 ( 2 imes 2 ) 的矩阵 ( A ) 如下：
$$
A = egin{pmatrix}
a & b \
c & d
end{pmatrix}
$$
那么它的伴随矩阵 ( ext{adj}(A) ) 将是：
$$
ext{adj}(A) = egin{pmatrix}
d & -b \
-c & a
end{pmatrix}
$$
这是因为 ( M_{11} = ext{det}(A_{11}) = ad - bc )，( M_{12} = ext{det}(A_{12}) = -(bc) )，( M_{21} = ext{det}(A_{21}) = -(ad) )，( M_{22} = ext{det}(A_{22}) = a^2 - bd )。
伴随矩阵在矩阵理论中扮演着重要的角色，特别是在求解线性方程组、计算矩阵的逆以及分析线性变换等方面。
伴随矩阵是在线性代数中,一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念.
