一元线性回归模型是一种统计学方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。
在这个模型中，我们将自变量（即独立变量）和因变量（又称依赖变量）之间的关系建立为一个线性方程，方程的系数即为自变量对应因变量的变化量。
一元线性回归模型的具体形式为：y = β0 + β1 x，其中y为因变量，x为自变量，β0为截距，β1为斜率（即自变量x对因变量y的影响系数）。
通过对样本数据的统计分析，我们可以得到一元线性回归模型的参数估计值，并基于此进行预测和推断。
除了一元线性回归模型之外，还有多元线性回归模型和非线性回归模型等进阶方法，这些方法可以进一步优化模型的预测效果和准确性。
一元线性回归模型是一种用来描述一个因变量和一个自变量之间线性关系的统计模型。一元线性回归模型的一般形式为：
Y_i=eta_0+eta_1X_i+epsilon_i \
其中，Y_i 是第 i 个观测值的因变量，X_i 是第 i 个观测值的自变量，eta_0 是截距，eta_1 是斜率，epsilon_i 是随机误差项。
一元线性回归模型的参数估计方法有最小二乘法、矩方法和极大似然法。最小二乘法是最常用的方法，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。最小二乘法的估计量为：
b_0=hateta_0=ar Y-b_1ar X\ b_1=hateta_1=frac {sum (X_i-ar X) (Y_i-ar Y)} {sum (X_i-ar X)^2}\
其中，ar X 和 ar Y 分别是自变量和因变量的样本均值。
一元线性回归模型的统计推断主要包括对参数进行假设检验和置信区间的构造。假设检验是用来判断参数是否显著不等于零或者某个特定值的方法。置信区间是用来给出参数的一个可能取值范围的方法。假设检验和置信区间都需要用到参数估计量的抽样分布。在误差项服从正态分布的假设下，可以证明：
b_0simmathcal N (eta_0,sigma^2 (b_0)) \
b_1simmathcal N (eta_1,sigma^2 (b_1)) \
其中，
sigma^2 (b_0)=sigma^2left (frac {1} {n}+frac {ar X^2} {sum (X_i-ar X)^2} ight) \
sigma^2 (b_1)=frac {sigma^2} {sum (X_i-ar X)^2} \
由于 sigma^2 是未知的，所以需要用残差平方和除以自由度得到的 s^2 来估计。于是，在做假设检验时，有统计量：
T=frac {b_0-c} {s (b_0)} sim t_{n-2}mid H_0:eta_0=c \
T=frac {b_1-c} {s (b_1)} sim t_{n-2}mid H_0:eta_1=c \
其中，
s (b_0)=s sqrt{ frac {1} {n}+ frac { ar X^2} { sum (X_i- ar X)^2}} \
s (b_1)=s frac {1} { sqrt{ sum (X_i- ar X)^2}} \
根据统计量和显著性水平，可以得到拒绝域和 p 值，进而判断是否拒绝原假设。置信区间则是根据统计量和置信水平，得到参数估计量周围的一个区间，使得该区间包含真实参数值的概率等于置信水平。
