要推导 (int sin^n(x) , dx) 的公式，我们可以使用递归方法。这个过程涉及到不断使用分部积分法，逐渐减小 n 的值，直到达到一个基本的情况。
首先，我们考虑 (int sin^2(x) , dx)，这是一个常见的情况。使用三角恒等式 (sin^2(x) = frac{1 - cos(2x)}{2})，我们可以将其转化为 (int frac{1 - cos(2x)}{2} , dx)。然后，使用分部积分法来解决这个积分。
分部积分公式是：(int u , dv = uv - int v , du)，其中 (u) 和 (dv) 是可微函数。
令 (u = sin(x)) 和 (dv = sin(x) , dx)，则 (du = cos(x) , dx) 和 (v = -frac{1}{2} cos(x))。
将这些值代入分部积分公式，我们得到：
(int sin^2(x) , dx = -frac{1}{2} sin(x) cos(x) - int -frac{1}{2} cos^2(x) , dx)
现在，我们需要解决 (int cos^2(x) , dx)。我们可以使用三角恒等式 (cos^2(x) = frac{1 + cos(2x)}{2}) 来转化它，然后再次使用分部积分法。
继续这个过程，我们最终会得到一个递归的公式，其中 (n) 逐渐减小，直到 (n = 0)。这时，(int sin^0(x) , dx = int 1 , dx = x + C)，其中 (C) 是常数。
这个递归公式的一般形式是：
(int sin^n(x) , dx = -frac{1}{n} sin^{n-1}(x) cos(x) + frac{n-1}{n} int sin^{n-2}(x) , dx)
通过不断应用这个公式，可以计算任何形如 (int sin^n(x) , dx) 的积分。这是一个逐步的过程，需要多次积分和代换。
