三角形在面积为一定值时，等边三角形周长最小。
海伦公式：S=√[p(p-a)(P-b)(P-c)]，
其中p=(a+b+c)/2。
由柯西不等式知算术平均数不小于几何平均数，等号成立的条件是，各数相等。所以面积一定的三角形中正三角形的周长最小。
在面积一定时正多边形周长最小，边数越多周长越小。边数趋向极限等于圆此时圆周长最小。
要求三角形的最小周长，需要先了解三角形的性质。在给定底边长度和两条腰的长度的情况下，三角形的周长越小，则两条腰的长度之和越接近底边长度。
假设三角形的底边长度为x，腰的长度分别为y和z (y ≤ z)。根据三角形两边之和大于第三边的原则，我们得到以下不等式：
y + z > x
又因为y + z = x + h，其中h是该三角形的高，故上述不等式可以改写为：
x + h > x
这意味着，三角形的高必须大于0，即有实际意义，才能使三角形成立。因此，我们可以用底边和高的关系式 h > 0 推出：
h > 0.5 * sqrt(y^2 - ((y^2 - z^2 + x^2) / (2x))^2)
因此，当y和z确定时，x取最小值时，三角形的周长也会最小。由于y ≤ z，因此y取最小值时，z也取最小值。当y和z都为等腰三角形时，y = z，此时三角形的周长最小，此时底边长度x = 2y，即底边长度为两条等腰直角三角形的其中一条腰的长度，所以三角形的最小周长为3y，也就是等腰直角三角形的斜边长度。
