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容斥问题讲解方法(容斥原理的三大公式)

容斥问题讲解方法(容斥原理的三大公式)

更新时间:2025-05-09 01:09:20

容斥问题讲解方法

  1、先说什么是容斥原理呢?多个集合(一般是两个或者三个)在计数的时候,不考虑重复的情况,先将各个集合的所有对象的数量“包容”进来,然后再把重复计数的数量“排斥”出去。

  题型一:两集合容斥问题

  两集合容斥问题抽象出来就是“符合A类,符合B类,A、B都符合”结合画图法表示如下:

  其中:A类的数量=图形1的面积+图形2的面积(简写成A=1+2)

  B类的数量=图形2的面积+图形3的面积(简写成B=2+3)

  图形1的面积=只符合A类的数量(符合A不符合B的数量)

  图形2的面积=既符合A类又符合B类的数量(简称都符合)

  图形3的面积=只符合B类的数量(符合B不符合A的数量)

  图形4的面积=既不符合A类又不符合B类的数量(简称都不,有些题目中没有都不一项)

  总体的数量=A+B-2+4。

1.公式法

两个集合:AUB=A+B-A∩B。

三个集合:AUBUC=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+ A∩B∩C。

2.文氏图法

题目涉及情况比较复杂时,利用文氏图能清楚看出各集合之间的关系。这种方法的运用可参考后文“图解法”中相应内容。

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