给x一个增量△x，计算sin(x+△x)-sinx；计算sin(x+△x)-sinx与△x的比值，在△x趋近于0时的极限值，可以化为2cos(x+△x/2)sin(△x/2)除以△x的极限。这个极限值等于cosx。即sinx的导数是cosx。
1，推导过程
(sinx)'=lim[sin(x+△x)-sinx]/(△x),其中△x→0,
将sin(x+△x)-sinx展开,
sinxcos△x+cosxsin△x-sinx,由于△x→0,故cos△x→1,
从而sinxcos△x+cosxsin△x-sinx→cosxsin△x,
于是(sinx)’=lim(cosxsin△x)/△x,
△x→0时,lim(sin△x)/△x=1
所以
(sinx)’=cosx
2，三角函数导数公式
(sinx)'=cosx
(cosx)'=-sinx
(tanx)'=sec²x=1+tan²x
(cotx)'=-csc²x
(secx)'=tanx·secx
(cscx)'=-cotx·cscx.
(tanx)'=(sinx/cosx)'=[cosx·cosx-sinx·(-sinx)]/cos²x=sec²x
sinx是正弦函数，而cosx是余弦函数，两者导数不同。sinx的导数是cosx，而cosx的导数是-sinx，这是因为两个函数的不同的升降区间造成的。
sinx的导数是cosx(其中x是常数)
曲线上有两点(X1,f(X1)),(X1+△x,f(x1+△x))。当△x趋向0时,△y=(f(x1+△x)-f(x1))/△x 极限存在，称y=f(X)在x1处可导，并把这个极限称f(x)在X1处的导数,这是可导的定义。
根据定义，有(sinx)'=lim[sin(x+△x)-sinx]/(△x)，其中△x→0，将sin(x+△x)-sinx展开，就是sinxcos△x+cosxsin△x-sinx，由于△x→0,故cos△x→1，从而sinxcos△x+cosxsin△x-sinx→cosxsin△x；
于是(sinx)’=lim(cosxsin△x)/△x，这里必须用到一个重要的极限，当△x→0时候，lim(sin△x)/△x=1，于是(sinx)’=cosx。
