回答如下：1. 证明三角形的内心、外心、垂心、重心四点共线。
2. 证明三角形的垂心在三角形外接圆上。
3. 证明三角形的外心是三角形三条中线的交点。
4. 证明三角形的外心是三角形三个角平分线的交点。
5. 证明三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。
6. 证明三角形的垂心到三角形三条边的距离相等。
7. 利用角平分线定理求解三角形内部的角度或边长。
三角形是初中数学和高中数学中比较重要的一部分内容。在三角形中，我们常常需要研究三角形的各种性质和应用。其中，三角形的高中线和角平分线是比较常见的概念。下面将介绍三角形高中线和角平分线的常见应用。
一、三角形的高中线
1. 求三角形面积：高中线可以将三角形分成两个等面积的三角形，因此可以用高中线求三角形面积。
2. 三角形外接圆的直径：三角形高中线的交点就是三角形外接圆的圆心，直径就是三角形长边。
3. 等角三角形：三角形的高中线相等，就是等角三角形。
4. 勾股定理：在直角三角形中，直角边中点到斜边的高，就是一条三角形的高中线。
二、三角形的角平分线
1. 求角的大小：角平分线把角分成两个相等的角，因此可以用角平分线求角的大小。
2. 画角平分线：在几何作图中，常用角平分线画出等角三角形、正多边形等。
3. 判定是否相似：如果两条角平分线相交的点在三角形中心，则两个三角形相似。
4. 求中线：角平分线交中线的交点就是三角形重心，可以用角平分线求中线长。
以上就是三角形中高中线和角平分线的几种常见应用。不同的应用场景需要灵活使用，提高自己的数学能力。
