线性表示和线性相关是线性代数中的两个重要概念，它们有以下区别和判定方式：
线性表示：
1. 线性表示是一种向量表示方式，通过给定的线性组合公式，将向量表示成另一组向量的线性组合。
2. 线性表示的判定方法是，如果存在一组系数，使得对于给定的向量集{α1，α2，…，αn}中的每一个向量αi(i=1，2，…，n)，都可以表示成这组系数的线性组合，则称向量集{α1，α2，…，αn}可以被线性表示。
3. 线性表示的应用范围很广，例如在解决实际问题时，可以将复杂的问题分解成简单的子问题，从而简化问题的解决过程。
线性相关：
1. 线性相关是指一组向量之间存在某种线性关系，即它们之间可以进行线性组合。
2. 线性相关的判定方法是，如果存在一组不全为零的系数，使得这组系数的线性组合等于零向量，则称这组向量是线性相关的。
3. 线性相关的向量组中，至少有一个向量可以被其他向量线性表示，这个向量称为“冗余向量”。
4. 线性相关的向量组所张成的子空间维数小于向量个数减去一维。
5. 线性相关的向量组在几何上表现为所有向量可以由一个或几个向量线性表示。
6. 线性相关的向量组中至少有一个向量是冗余的。
7. 线性相关的向量组所张成的子空间维数小于向量个数减去一维。
8. 线性相关的向量组在几何上表现为所有向量可以由一个或几个向量线性表示。
9. 线性相关的向量组在方程组中的表现是：方程组的解唯一或者有无穷多解。
、定义不同：
线性表示是一种重要的表达形式，指线性空间中的一个元素可通过另一组元素的线性运算来表示。零向量可由任一组向量线性表示。
在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立(linearly independent)，反之称为线性相关(linearly dependent)。
2、满足条件不同：
线性表示是说对于一个向量,可以用n个向量线性来表示,这n个向量的系数为任意整数x= a1*x1 + a2 *x2 +...+an*xn,a1...an为任意整数。
而线性相关是指n个向量 a1*x1+a2*x2+...+an*xn=0中,满足条件的a1...an不全为0。
3、表示不同：
线性表示是一个向量与一个向量组的关系。线性相关性是向量组内部向量之间的关系。线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示。
