当驾驶人在6月份年满60周岁时，其驾驶证应在同年的6月份之后进行降级。因为驾驶证的降级是基于年龄达到特定标准时进行的，而不是在达到年龄后立即降级。驾驶人需要在达到年龄后，前往车管所办理降级手续。
对于持有C1以上驾驶证的人群，年满60周岁后，需要降级为C类驾驶证。降级时，驾驶人需要准备相关资料，包括身份证的原件和复印件、证件照片以及驾驶证，然后前往车管所办事大厅提交给工作人员审核。审核通过后，需要缴纳相应的体检费用以及制作驾驶证的工本费，然后进行体检。体检合格后，将体检合格证明交给工作人员，随后办理相关手续，即可领取降级后的驾驶证。
因此，当驾驶人在6月份年满60周岁时，应在同年6月份之后尽快前往车管所办理驾驶证降级手续，以确保其驾驶证的合法性和有效性。同时，也需要注意，驾驶人在降级后，不得再驾驶原有准驾车型，否则将面临相应的法律责任。
