等比数列（Geometric Sequence）是一种数学数列，其中每一项都是前一项与一个常数比值相乘而得到。等比数列的性质可以通过数学归纳法来证明。以下是等比数列的性质以及证明：
**性质1：通项公式**
等比数列的通项公式为：a_n = a_1 * r^(n-1)，其中 a_n 表示第 n 项，a_1 表示首项，r 表示公比，n 表示项数。
**证明：**
我们可以使用数学归纳法证明这个性质。
- **基础情况（n = 1）：** 当 n = 1 时，a_1 = a_1 * r^(1-1) = a_1 * r^0 = a_1，这是显然成立的。
- **归纳假设：** 假设对于某个正整数 k，等比数列的通项公式成立，即 a_k = a_1 * r^(k-1)。
- **归纳步骤：** 我们来证明对于 k+1 也成立。使用归纳假设，a_k = a_1 * r^(k-1)。现在我们要找到 a_(k+1)。
a_(k+1) = a_k * r = (a_1 * r^(k-1)) * r = a_1 * r^k
因此，对于所有正整数 n，等比数列的通项公式 a_n = a_1 * r^(n-1) 成立。
**性质2：通项与公比的关系**
若已知等比数列的首项 a_1、第 n 项 a_n，以及公比 r，则可以用以下公式求公比 r：
r = a_n / a_1
**证明：**
这个性质无需证明，它是等比数列通项公式的直接推论。
这些性质是等比数列的基本性质，它们对于研究和解决等比数列相关问题非常有用。
