由(sinpf1f2)/(sinpf2f1)=a/c，与正弦定理得pf2/pf1=a/c=1/e
所以pf1/pf2=e（1）
据离心率第二定义pf2=pm*e（2）m为p到准线的距离在准线上的交点
将（2）带入（1）得：1+2a/pf2=e(3)因为p在曲线上，所以当p在曲线与x轴交点时pf2最大此时pf2=a-a^2/c=a(1-1/e)(4)
将(4)带入(3)解得e的最大值1+根号2
因为双曲线有e大于1所以该双曲线的离心率取值范围是（1，1+根号2)。
扩展资料
【特征介绍】
1、分支
可以从图像中看出，双曲线有两个分支。当焦点在x轴上时，为左轴与右轴；当焦点在y轴上时，为上轴与下轴。
2、焦点
在定义1中提到的两个定点称为该双曲线的焦点，定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦点。焦点的横（纵）坐标满足c=a+b。
3、准线
在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线。
在椭圆中,离心率e=c/a.
因为a>c,而两者都大于0.
所以离心率的范围应该是(0,1),而不是[0,1].
