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三项权方和不等式的推导过程(权方和不等式推导过程图解)

三项权方和不等式的推导过程(权方和不等式推导过程图解)

更新时间:2025-08-03 02:52:18

三项权方和不等式的推导过程

三项权方和不等式又被称为柯西-施瓦茨不等式,其推导过程如下:

设有两个向量A和B,它们的分量分别为A1、A2和B1、B2。

根据向量的点乘定义,向量A与向量B的点乘结果为:

A·B = A1 * B1 + A2 * B2

现在我们来研究A·B的平方。

(A·B)^2 = (A1 * B1 + A2 * B2)^2

根据二次展开公式,可得:

(A·B)^2 = (A1 * B1)^2 + 2 * A1 * B1 * A2 * B2 + (A2 * B2)^2

注意到平方的结果总是非负的,所以上述展开式中的每一项都是非负数。

然后,我们再来研究A的平方与B的平方。

A·A = A1^2 + A2^2

B·B = B1^2 + B2^2

根据以上推导,我们可以得到:

(A·B)^2 ≤ (A·A)*(B·B)

(A1 * B1 + A2 * B2)^2 ≤ (A1^2 + A2^2)*(B1^2 + B2^2)

这就是三项权方和不等式,也叫柯西-施瓦茨不等式的推导过程。

该不等式可以推广到更多的向量和更多的维度,但是基本思路和推导过程相同。 

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