
三项权方和不等式又被称为柯西-施瓦茨不等式,其推导过程如下:
设有两个向量A和B,它们的分量分别为A1、A2和B1、B2。
根据向量的点乘定义,向量A与向量B的点乘结果为:
A·B = A1 * B1 + A2 * B2
现在我们来研究A·B的平方。
(A·B)^2 = (A1 * B1 + A2 * B2)^2
根据二次展开公式,可得:
(A·B)^2 = (A1 * B1)^2 + 2 * A1 * B1 * A2 * B2 + (A2 * B2)^2
注意到平方的结果总是非负的,所以上述展开式中的每一项都是非负数。
然后,我们再来研究A的平方与B的平方。
A·A = A1^2 + A2^2
B·B = B1^2 + B2^2
根据以上推导,我们可以得到:
(A·B)^2 ≤ (A·A)*(B·B)
(A1 * B1 + A2 * B2)^2 ≤ (A1^2 + A2^2)*(B1^2 + B2^2)
这就是三项权方和不等式,也叫柯西-施瓦茨不等式的推导过程。
该不等式可以推广到更多的向量和更多的维度,但是基本思路和推导过程相同。