是求1³+2³+...+n³?
至少有三种方法.
1.由(n+1)^4-n^4=4n³+6n²+4n+1.
n^4-(n-1)^4=4(n-1)³+6(n-1)²+4(n-1)+1
(n-1)^4-(n-2)^4=4(n-2)³+6(n-2)²+4(n-2)+1
...
2^4-1=4·1³+6·1²+4·1+1
求和得(n+1)^4-1=4S_3+6S_2+4S_1+n.
只要代入二次方和S_2与一次方和S_1的公式,就能求出三次方和S_3的公式.
2.首先有几个恒等式:
1+2+...+n=n(n+1)/2.(可以裂项2k=k(k+1)-(k-1)k证明).
1×2+2×3+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3.(可以裂项3k(k+1)=k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)证明).
1×2×3+2×3×4+...+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)/4.(类似裂项证明).
n³=n(n+1)(n+2)-3n(n+1)+n,求和即得.
3.图形法.考虑以1+2+...+n为边长的正方形.
从左上角开始,将图形分割如下.
1223334444
2223334444
2223334444
3333334444
3333334444
3333334444
4444444444
4444444444
4444444444
4444444444
1个边长1正方形,1+(1/2)·2个边长2正方形,3个边长3正方形,3+(1/2)·2个边长4正方形,...
1³+2³+...+n³=(1+2+...+n)²=n²(n+1)²/4.
除此之外还有待定系数加数学归纳法,还有母函数方法等.
