三角形与圆的推导公式有很多，以下是其中一些常见的公式：
1. 三角形面积公式：
- 根据海伦公式：三角形的面积 = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s为三角形的半周长，a、b、c为三角形的边长。
2. 三角形边长关系公式：
- 余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC，其中a、b、c为三角形的边长，C为夹角C的角度。
- 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C为三角形的角度。
3. 圆的周长和面积公式：
- 圆的周长（周长也被称为圆的周率）：C = 2πr，其中r为圆的半径。
- 圆的面积：A = πr^2，其中r为圆的半径。
这些公式可以在三角学和几何学中用于解决与三角形和圆相关的问题。
基本内容
下面利用三角函数对圆面积公式进行简单的推导。根据圆曲线的基本方程：X2+Y2=R2,可得Y=√(R2-X2),由此得出圆面积公式的微积分表示为：S=∫√(R2-X2)dX。
欲解该式，我们可利用三角函数做如下解析：设立平面坐标系，以原点为圆心，则可知X=Rcosθ，Y=Rsinθ,由此带入方程式中，得：S=∫RsinθdRcosθ。
由dcosθ=-sinθdθ得，S=∫R2-sin2θdθ,
化简可为：S=∫R2[cos2θ/2-1/2]dθ，因三角函数值域仅在[0,1]，
所以公式应为：S=∫R2(1/2-cos2θ/2)dθ。
求解可得：S=R2(1/2∫dθ-∫cos2θ/2dθ)，

圆与三角
因末项积分可视为一个常数C, 所以原式化为：S=R2∫1/2dθ+C,即S=R2.θ/2+C,
令θ=0时，且S= 0,故C=0,
即化简后为:S=R2.θ/2。
当θ∈(0,2π),即得S=πR2。证明完毕。
