有没有处处不可导的凸函数（如何证明一个函数为严格凸函数）

没有。凸函数最多可以有：可数无穷多个不可导的点。因为凸函数不可导的点只有一种情形：该点左右导数都存在，但不相等。又因为是凸函数，导数递增，所以在不可导点：左导数<右导数（严格小于）。这样的点只能有可数个。