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狄利克雷函数是什么

狄利克雷函数是什么

更新时间:2023-09-13 00:47:46

狄利克雷函数是什么

19世纪的德国数学家狄利克雷提出一个函数:

这属于一个人造函数,而这个函数本身却给我们带来很多深刻的思考。

首先最好来感受一下这个函数。当x取有理数的时候,函数值为1;当x取无理数的时候,函数值为0。这里纠结的地方在哪里呢?无理数和有理数密密麻麻地掺杂在一起,任意两个无理数之间有无穷多个有理数,任意两个有理数之间有无穷多个无理数。也就是不管x的区间取得多么小,函数值会急剧地在0与1之间反复跳动。

这种跳动不是一般的函数波动,而是捉摸不到的、极其迅速的跳变。因此狄利克雷函数是极度不连续的。

所以,狄利克雷函数的一个重要特点就是:无法作图。你可以试着把x轴上的有理数和无理数进行分离,属于有理数的点上升一个单位,属于无理数的点停留在原处。当然,这只能存在于想象中,图形无法表示。

这就使得函数的概念扩大了。函数不一定需要表达式,甚至不需要图像,它成为了一个抽象的概念。只要存在某种对应关系,我们就可以称之为函数。

我们接着探究一下狄利克雷函数的奇偶性和周期性。

假设x是在正半轴上的,如果它是有理数,-x也为有理数;如果它是无理数,-x也为无理数。例如 ,那么 。所以对于一切x, 。于是狄利克雷函数是偶函数,也就是它的图像是轴对称的,是可以关于y轴折起来的(实数的对称性)。

再说周期性。任何有理数都可以作为狄利克雷函数的周期。即 。如果x为有理数,则有1=1;如果x为无理数,则有0=0。

无理数可不可以作为函数的周期呢?答案是否定的。假设无理数可以作为周期,肯定有 。如果我取 ,则得到1=0。然而这是不成立的,说明假设是错误的。

最后,我们回到函数的“极度”不连续上。“极度”的意思就是函数“图像”下面没有面积,也就是它和x轴围不出面积。那么我们就要去问:函数不连续到什么程度它下面才会没有面积?

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