赵贞吉并没有当过内阁首辅。在电视剧《大明王朝1566》中,赵贞吉被描述为一个为了入阁拜相而事事揣摩上意、逢迎嘉靖的官员,但最终他并没有实现这个目标。
在历史上,赵贞吉是明朝的一位官员,但他的官职和政治生涯并没有被详细记录。