椭圆离心率e的公式推导过程如下：
椭圆的离心率e可以表示为c/a，其中c为焦点到中心的距离，a为长轴的半径。
我们知道，椭圆的焦点到中心的距离c和长轴半径a、短轴半径b满足勾股定理，即c^2=a^2-b^2。
将c^2代入e的公式，得到e=(c^2/a^2)^(1/2)=(a^2-b^2/a^2)^(1/2)。
因为a>b，所以e=(a^2-b^2/a^2)^(1/2)<1。
当b趋近于0时，e趋近于1；当a、b都趋近于0时，e趋近于0。
因此，离心率e反映了椭圆的扁平程度。
椭圆的离心率公式为e=frac{c}{a}，其中a为椭圆的长半轴，c为椭圆的焦距。
推导过程如下：
假设椭圆的标准方程为frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1，其中a>b>0。
根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a，即PF_1+PF_2=2a。
设椭圆的两个焦点分别为F_1(-c,0)和F_2(c,0)，点P(x,y)是椭圆上的任意一点。
根据两点间距离公式，PF_1=sqrt{(x+c)^2+y^2}，PF_2=sqrt{(x-c)^2+y^2}。
将PF_1和PF_2代入PF_1+PF_2=2a中，得到：
sqrt{(x+c)^2+y^2}+sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a
两边平方，得到：
(x+c)^2+y^2+(x-c)^2+y^2=4a^2
化简得：
2x^2+2y^2+2c^2=4a^2
移项得：
x^2+y^2=a^2-c^2
因为a>b>0，所以a^2-c^2>0，即x^2+y^2>0，这说明点P(x,y)在椭圆内部。
将x^2+y^2=a^2-c^2代入椭圆的标准方程frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1中，得到：
frac{a^2-c^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1
化简得：
frac{y^2}{b^2}=frac{c^2}{a^2}-1
两边同时除以a^2，得到：
frac{y^2}{b^2} imesfrac{a^2}{c^2}=frac{a^2-c^2}{a^2}
因为frac{a^2}{c^2}=1+frac{b^2}{c^2}，所以上式可以化简为：
frac{y^2}{b^2} imes(1+frac{b^2}{c^2})=frac{a^2-c^2}{a^2}
移项得：
frac{y^2}{b^2}=frac{a^2-c^2}{a^2}div(1+frac{b^2}{c^2})
因为frac{a^2-c^2}{a^2}div(1+frac{b^2}{c^2})=frac{1-e^2}{1+e^2}，其中e=frac{c}{a}，所以上式可以化简为：
frac{y^2}{b^2}=frac{1-e^2}{1+e^2}
两边同时开方，得到：
frac{y}{sqrt{b^2}}=frac{sqrt{1-e^2}}{sqrt{1+e^2}}
因为b>0，所以frac{y}{sqrt{b^2}}=frac{y}{b}，所以上式可以化简为：
frac{y}{b}=frac{sqrt{1-e^2}}{sqrt{1+e^2}}
因为椭圆的离心率0<e<1，所以sqrt{1-e^2}<sqrt{1+e^2}，即frac{sqrt{1-e^2}}{sqrt{1+e^2}}<1。
因为frac{y}{b}<1，所以frac{sqrt{1-e^2}}{sqrt{1+e^2}}=frac{y}{b}，即e=frac{c}{a}=frac{sqrt{1-e^2}}{sqrt{1+e^2}}。
因此，椭圆的离心率公式为e=frac{c}{a}=frac{sqrt{1-e^2}}{sqrt{1+e^2}}。
