切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

1切割线定理的证明

设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT²=PA·PB。
证明：连接AT， BT。
∵ ∠PTB=∠PAT(弦切角定理)；∠APT=∠TPB(公共角)；
∴ △PBT∽△PTA(两角对应相等，两三角形相似)；
∴PB：PT=PT：AP；
即：PT²=PB·PA。
圆的切割线定理，也称为切线定理，是指如果一条直线与一个圆相交，那么与该直线相交的切线的两个切点之间的线段与直线的交点之间的线段的乘积等于直线与圆心的距离的平方。
下面是圆的切割线定理的证明过程：
假设有一个圆，圆心为O，半径为r。设直线与圆相交于点A和点B，切线与圆相交于点C和点D，直线与圆心的距离为d。
首先，我们可以利用相似三角形来证明点A、B、C、D四个点共线。由于OC是半径，所以OC ⊥ AC，同样，OD ⊥ BD。因此，∠OAC = ∠OCA，∠OBD = ∠ODB。又因为∠OCA = ∠ODB（切线与半径的夹角为直角），所以∠OAC = ∠OBD。根据等角定理，我们可以得出∠OAC = ∠OBD，∠OCA = ∠ODB，因此三角形OAC与三角形ODB相似。根据相似三角形的性质，我们可以得出∠OAC = ∠ODB，∠OCA = ∠ODB，所以∠OAC = ∠OCA = ∠ODB = ∠ODB。
接下来，我们可以利用相似三角形来证明点A、B、C、D四个点共线。由于OC是半径，所以OC ⊥ AC，同样，OD ⊥ BD。因此，∠OAC = ∠OCA，∠OBD = ∠ODB。又因为∠OCA = ∠ODB（切线与半径的夹角为直角），所以∠OAC = ∠OBD。根据等角定理，我们可以得出∠OAC = ∠OBD，∠OCA = ∠ODB，因此三角形OAC与三角形ODB相似。根据相似三角形的性质，我们可以得出∠OAC = ∠OCA = ∠ODB = ∠ODB。
由于∠OAC = ∠OCA，所以三角形OAC是等腰三角形，同理，三角形ODB也是等腰三角形。因此，OA = OC，OB = OD。
根据相似三角形的性质，我们可以得出：
AC / OA = OC / OA BD / OB = OD / OB
由于OA = OC，OB = OD，所以：
AC / OA = OC / OA = 1 BD / OB = OD / OB = 1
因此，AC = OA，BD = OB。
根据圆的切割线定理，我们可以得出：
AC * BD = OA * OB
由于AC = OA，BD = OB，所以：
AC * BD = OA * OB = r * r = d * d
因此，我们证明了圆的切割线定理。
