上确界和下确界是集合论中用于描述集合中元素性质的概念。给定一个实数集合A，我们可以分别找到它的最小上界（最小上确界，supremum）和最大下界（最大下确界，infimum）。
定义：
1. 上确界（supremum）：设A是实数集合，若数a满足：
a) a≥A中所有元素；
b) 对于任意属于A的x，都有a≥x，
那么a称为A的上确界。
2. 下确界（infimum）：设A是实数集合，若数b满足：
b) b≤A中所有元素；
c) 对于任意属于A的x，都有b≤x，
那么b称为A的下确界。
注意：上确界不一定属于集合A，而下确界也不一定属于集合A。但是，如果上（下）确界存在且属于A，那么它就被称为最小上（下）界。
例题：
1. 找出集合A={x|-1≤x≤1}的上确界和下确界。
解：对于任意实数a，如果a≥-1且a≤1，那么a∈A。因此，-1和1都满足上确界的条件，而-1和1也是集合A的元素，所以-1和1就是A的最小上界。
同样，对于任意实数b，如果b≤-1或b≥1，那么b∉A。因此，不存在这样的b满足下确界的条件。但是，集合A的边界值-1和1是满足下确界条件的，所以-1和1就是A的下确界。
2. 找出集合B={x|x>0}的上确界和下确界。
解：对于任意实数a，如果a>0，那么a∈B。因此，对于任意a，a≥0。也就是说，对于任意实数a，a都是B的上界。由于a可以是任意实数，所以B没有最小上界。
同样，对于任意实数b，如果b≤0，那么b∉B。因此，不存在这样的b满足下确界的条件。然而，我们可以选取0作为下界，因为0是B的最小边界值，且满足下确界的条件。所以，B的下确界为0。
确界是数学中重要的概念，它用来描述一个集合中元素的上限和下限。上确界（Supremum）和下确界（Infimum）是两个特殊的确界。
下确界（Infimum）：对于一个有序集合S，如果存在一个数x，使得集合S中的每个元素都大于或等于x，那么x就是S的下确界。下确界是集合S的最大下界。
上确界（Supremum）：对于一个有序集合S，如果存在一个数x，使得集合S中的每个元素都小于或等于x，那么x就是S的上确界。上确界是集合S的最小上界。
举个例子来说明：
集合S = {1, 2, 3, 4, 5}，我们来找它的上确界和下确界：
上确界：最小的上界是5，因为集合中的每个元素都小于或等于5。
下确界：最大的下界是1，因为集合中的每个元素都大于或等于1。
集合S = (0, 1)，表示开区间(0, 1)，我们来找它的上确界和下确界：
上确界：上确界是1，因为在该区间内没有任何元素大于1。
下确界：下确界是0，因为在该区间内没有任何元素小于0。
需要注意的是，上确界和下确界并不一定是集合中的元素，它们可以是实数或扩展实数。
这些是上确界和下确界的基本定义和示例。它们在分析和集合论中有重要的应用，用于证明和解决许多数学问题。
