万能公式推导:
sin2a=2sinacosa=2sinacosa/(cos^2(a)+sin^2
(因为cos^2(a)+sin^2(a)=1)
再把*分式上下同除cos^2(a)，可得 sin2a=2tana/(1+tan^2(a))
然后用a/2代替a即可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
三倍角公式推导:
tan3a=sin3a/cos3a
=(sin2acosa+cos2asina)/(cos2acosat sin2asina)
=(2sinacos^2(a)+cos^2(a)sina- sin^3(a))/(cos^3(a)-cosasin^2(a)-2sin^2(a)cosa)
上下同除以cos^3(a)，
得:
tan3a=(3tana-tan^3(a))/(1-3tan^2(a))
sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina
=2sinacos^2(a)+(1-2sin^2(a))sina
=2sina-2sin^3(a)+sina-2sin^3(a)
=3sina-4sin^3(a)
cos3a=cos(2a+a)=cos2acosa- sin2asina
=(2cos^2(a)-1)cosa-2cosasin^2(a)
=2cos^3(a)-cosa+(2cosa-2cos^3(a))
=4cos^3(a)-3cosa
即
sin3a=3sina-4sin^3(a)
cos3a=4cos^3(a)-3cosa
和差化积公式推导
首先,我们知道
sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a- b)=sina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a- b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb- sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
好,有了积化和差的.四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式
我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
