在“长跪而谢之”的表达中，"而"是一个连词，在这里用来连接两个动作或状态。它表示其中一个动作或状态是另一个动作或状态的结果，或者是加强、修饰前者的意思。
在这个表达中，"而"的作用是强调“长跪”和“谢之”之间的关系，即一种行为（长跪）导致或表达另一种行为（谢之）。这种使用方式也可以理解为“并且”，用来追加另外一个行为。
因此，“长跪而谢之”的意思是指一个人长时间跪地以示敬意或感激，并通过行动表达谢意。这句话形象地描述了一种非常恭敬和真挚的感谢态度，表达了对对方的重要帮助、恩情或善意的衷心感激之情。
长跪而谢之的而表修饰关系。
