首先，伴随矩阵的定义是由原矩阵的代数余子式按照一定规则组成的矩阵，而转置矩阵是将原矩阵的行和列对调得到的矩阵。因此，如果a的转置等于a的伴随矩阵，即a的每个元素的代数余子式等于该元素在转置后的位置上的元素，那么我们可以利用矩阵可逆的充要条件：行列式不为0，来证明a可逆。因为如果a可逆，那么它的行列式不为0，而行列式的计算需要用到代数余子式，所以a的伴随矩阵的每个元素都与a的行列式有关，因此a的转置等于a的伴随矩阵可以推出a可逆。
条件应该有A ≠ 0吧. n = 2时,设A = a b c d 则伴随矩阵A* = d -b -c a 由转置A‘ = A*得a = d,b = -c. 当讨论限制为实矩阵,行列式|A| = a²+b² > 0,A可逆. 复矩阵时有反例: 1 i -i 1 n > 2时,无论在哪个域上,命题总是成立的,证明如下. 若A的秩r(A) < n-1,伴随矩阵A*是由A的n-1阶子式构造,有A* = 0,与A ≠ 0从而转置矩阵A' ≠ 0矛盾. 若r(A) = n-1,由AA* = |A|·E = 0,及不等式r(A)+r(A*)-n ≤ r(AA*),有r(A*) ≤ 1 < r(A) = r(A'). 于是r(A) < n时总有A* ≠ A'.即由A* = A'可推出A可逆.
